Как вычислить предел в маткаде

Как вычислить предел в маткаде

Для нахождения пределов в Mathcad введем несколько понятий, которые будут необходимы нам в дальнейшем. Число m является пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа alt=»Пределы в Mathcad» width=»15″ height=»15″ />найдется зависящее от него натуральное число, N такое, что при всех n > N выполняется неравенство | an –m | < alt=»Пределы в Mathcad» width=»15″ height=»15″ />. При этом пишут:

Пределы в Mathcad

Число m является пределом функции f(x) в конечной или бесконечной точке х0, если для любой последовательности хn, n = 1,2,…, стремящейся к х0, последовательность f(xn) , n = 1,2,… стремится к точке m. В этом случае пишут

Пределы в Mathcad. Если Пределы в Mathcad, то говорят о пределе функции y = f(x) справа. Если Пределы в Mathcad, то говорят о пределе функции слева.

Аналогичная символика принята в Mathсad. При этом для вычисления предела последовательности и функции, предела функции слева и справа приняты следующие обозначения:

Пределы в Mathcad

При в вычислении пределов в Mathcad используется только знак символьного равенства. В процессе проведения вычислений, кроме результатов, могут выдаваться различные сообщения. Если ошибочно введено выражение, для которого предстоит вычислить предел, то Mathсad выводит сообщение: “ No symbolic result was found -> Символический результат не был найден”. Если Mathсad не может вычислить выражение, то в качестве ответа повторяется само условие задачи. Если предел не существует, то результатом вычислений будет выражение: “Undefined – Не определен”. Пример вычисления пределов приведен на листинге.

Вычисление пределов, производных и интегралов в Mathcad

Для осуществления операций дифференциального и интегрального исчисления в Mathcad предусмотрен ряд операторов, вызываемый при помощи панели инструментов «Исчисление», которая, в свою очередь, вызывается кнопкой панели инструментов «Математика». Операторы данной панели перечислены в табл. 14.2.

Опера­тор Кнопка Сочетание клавиш
Производная Shift+/ (на основной клавиатуре)
Производная n-го порядка (n≤5) Ctrl+Shift+/ (на основной клавиатуре)
Определенный интеграл Shift+7
Неопределенный интеграл Ctrl+I
Суммирование Ctrl+Shift+4
Суммирование по дискретной переменной Ctrl+4
Вычисление произведения Ctrl+Shift+3
Вычисление произведения по дискретной переменной Ctrl+3
Вычисление предела Ctrl+L
Вычисление предела слева Ctrl+A
Вычисление предела справа Ctrl+B

В силу математического определения неопределенный интеграл не может быть вычислен численно, поэтому данный оператор применяется только в символьных вычислениях (см. следующую лаб. работу).

Операторы суммирования вставляет в рабочий лист шаблон вида

,
где знакоместо справа от знака суммы предназначено для выражения, подлежащего суммированию, знакоместо внизу слева – для ввода переменной суммирования (от нее должно зависеть суммируемое выражение), а знакоместа внизу справа и вверху служат для ввода границ интервала суммирования. При этом переменная суммирования последовательно получает все значения из заданного интервала. Оператор суммирования по дискретной переменной вставляет в рабочий лист шаблон вида

,
не имеющий знакомест для границ интервала. В знакоместо внизу необходимо вставить переменную суммирования, которая предварительно должна быть определена как дискретная переменная. Интервалы суммирования, таким образом, задаются на этапе определения дискретной переменной. Вышеперечисленное относится и к вычислению произведения.

После ввода оператора вычисления производной при щелчке правой кнопкой мыши по его шаблону в контекстном меню появляется пункт Показать производную как, позволяющий выбрать, будет ли производная отображаться как общая или частная (буква d меняется на и наоборот).

Часто при вычислении сумм, произведений, пределов, определенных интегралов одной из границ интервала выступает бесконечность. Для ввода соответствующего символа служит кнопка на панели инструментов «Исчисление» или комбинация клавиш Ctrl+Shift+Z.

Операторы дифференциального и интегрального счисления можно комбинировать друг с другом. Таким образом, в частности, можно задавать вычисления двойных и тройных интегралов. Эти операторы также можно использовать при определении переменных и функций – это точно такие же математические операторы, как сложение или умножение. Примером может служить выражение (для его вычисления должны быть определены функция f(x,y) и значение переменной r):

Урок 18. Символьные вычисления в Mathcad

Mathcad представляет из себя WYSIWYG-редактор, в котором можно размещать математические и текстовые области. До этого урока в математических областях мы проводили только численные расчеты. Однако расчеты в Mathcad могут быть и символьными (аналитическими) – это позволяет совершать операции дифференцирования, интегрирования, вычисления пределов, разложение в ряд и т.д. и записать результат вычисления в привычном виде.

Если Вы только начинаете работу с символьными вычислениями, лучше проводите их в отдельных файлах. Если Вы используете одинаковые имена переменных для символьных и численных вычислений, то они могут взаимодействовать и мешать друг другу. Вы можете вставлять результаты из одного файла в другой.

В этом уроке мы будем в основном использовать те инструменты, которые уже изучили, но с той большой разницей, что вычисления будут символьными.

Оператор «Аналитическое преобразование»

Мы уже знаем пять различных знаков «равно» в Mathcad:

mathcad_18_01

Добавим в этот список еще один знак – аналитическое преобразование:

mathcad_18_02

Этот оператор достаточно важен, поэтому будет полезным запомнить его сочетание клавиш.

Там, где это возможно, аналитическое преобразование дает точный результат, без округления. Примеры:

mathcad_18_03

Если параметры известны, аналитическое преобразование вставит их в результат:

mathcad_18_04

Интегрирование

В качестве первого примера возьмем интеграл: вкладка Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Математический анализ –> Интеграл:

mathcad_18_05

Введите в местозаполнители следующее:

mathcad_18_06

Аналитическое преобразование даст:

mathcad_18_07

Это вычисление динамично – если Вы меняете функцию, результат также меняется. Чтобы найти определенный интеграл, введите в местозаполнители пределы интегрирования:

mathcad_18_08

Таким же образом можно вычислить результат численно:

mathcad_18_09

Mathcad может брать достаточно сложные интегралы, где численное вычисление не работает:

mathcad_18_10

Mathcad может брать двойные и тройные интегралы:

mathcad_18_11

Дифференцирование

Введите оператор дифференцирования, затем переменную, затем функцию:

mathcad_18_12

mathcad_18_13

Чтобы найти производную более высокого порядка, введите в дополнительный местозаполнитель за переменной в знаменателе (щелкните по оператору, чтобы увидеть этот местозаполнитель):

mathcad_18_14

Таким же образом можно найти частную производную:

mathcad_18_15

Пределы

Для вычисления предела введите оператор со вкладки Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Математический анализ, введите в местозаполнители точку и функцию и вычислите символьно:

mathcad_18_16

Оператор предела содержит четвертый местозаполнитель (щелкните по оператору, чтобы увидеть его). Используйте этот местозаполнитель, чтобы вычислять предел слева (с [-]) или предел (с [+]). Мы проиллюстрируем все три предела на примере функции тангенса:

Пределы последовательностей и функций.

Вычисление пределов является одной из основных задач математического анализа. Система MathCAD позволяет с высокой эффективностью находить любые пределы.

Операторы MathCAD для вычисления пределов расположены на панели Calculus. Данная панель содержит три кнопки:

Two-sided Limit (двухсторонний предел), Left-sided Limit (левосторонний предел) и Right-sided (правосторонний предел), при нажатии на которые появляются соответственно

Необходимо помнить, что пределы, в отличие от большинства математических операций в MathCAD, можно вычислить только в символьном виде, а при попытке вычислить предел численно (с помощью знака “=”) будет выдано сообщение об ошибке.

Предел последовательности. Фактически предел последовательности, если он существует, — это число, к которому приближаются элементы последовательности при значении индекса n, стремящегося к . Для вычисления предела последовательности надо ввести шаблон для двухстороннего предела, заполнить его, затем ввести соответствующую команду из символьного меню или знак символьного вывода .

Если последовательность не имеет предела, то будет выдано слово undefined (не определено).

Знак символьного вывода позволяет использовать функцию пользователя.

Предел функции в точке. Необходимость вычисления пределов функции возникает в задачах даже чаще, чем пределов последовательностей. В точках, где функция непрерывна, все три предела будут иметь одинаковое значение — значение функции в этой точке.

Но во многих задачах можно столкнуться с функциями, значение которых в тех или иных точках с формальной математической точки зрения не определено (особые точки типа 0/0 или /, точки разрыва функции). Для того, чтобы получить правильное значение функции в особой точке, следует вычислить ее предел в этой точке. При вычислении пределов в особых точках также используется двухсторонний предел.

Как видно из вышеприведенного примера, значения функций f(x) и g(x) в точке x равно 0. Это происходит потому, что MathCAD вычисляет вначале числитель, и если он равен 0, то и всей дроби присваивается значение 0, знаменатель даже не вычисляется.

Если возникает необходимость построить график функции, которая содержит особую точку, то из-за упомянутой выше особенности MathCAD при вычислении дробей график будет содержать дефект. Исправить эту ошибку и получить правильный график на всем интервале можно, если при вычислении функции в особой точке заменить значение функции на значение предела. Это можно сделать с помощью встроенной функции If.

Для анализа точек разрыва служат односторонние пределы. В точках разрыва не определено не только значение самой функции, но и значение ее двухстороннего предела. Поэтому для исследования точек разрыва функции вычисляют левый и правый пределы в этой точке.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *