Что такое lg в математике

Определение десятичного логарифма и как его найти

Десятичные логарифмы широко применялись в вычислениях до появления компактных калькуляторов. Они позволяли значительно облегчить сложные расчеты, что существенно снижало вероятность ошибки.

Десятичный логарифм числа – что это такое в математике

Логарифмом числа k по основанию n (log_n k) называется такое число m, при котором верно равенство:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Логарифм будет иметь смысл только при соблюдении ряда условий:

Если за основание логарифма взята цифра 10, то такой логарифм называется десятичным. Его принято обозначать знаком lg и не указывать основание, равное 10. Например, правильно записывать lg 20, а не log₁₀ 20.

Десятичные логарифмы обладают теми же особенностями, что и любые другие логарифмы при основании больше, чем 1. Например, большему из нескольких положительных чисел будет соответствовать и больший десятичный логарифм. Десятичный логарифм числа, которое больше 0, но меньше 1, будет отрицательным, а больше единицы – положительным.

Десятичные логарифмы обладают рядом характерных признаков:

1. Десятичный логарифм положительного целого числа, представленного единицей и следующими за ней нулями, представляет собой целое неотрицательное число, которое будет равно количеству нулей в записи выбранного числа: lg 10=1, lg 10000=4.
2. Десятичный логарифм десятичной неотрицательной дроби, записанной как единица с предыдущими нулями, будет равен (-m). В этом случае m – количество нулей, предшествующих единице, в том числе с учетом и нулевой целой части: lg 0,1=-1, lg 0,0001=-4.
3. Если умножить число на 10 m , то десятичный логарифм увеличится на число m. Это можно записать формулой: lg (a10 m ) = lg a + lg 10 m = lg a + m.
4. Если разделить число на 10 k , то его десятичный логарифм станет меньше на k.

Определение и формулы десятичного логарифма

Десятичным логарифмом числа k является решение уравнения: 10 n =k

В алгебре свойства десятичных логарифмов описываются целым рядом формул. Их использование позволяет значительно проще решать сложные задачи, снижает вероятность ошибок.

Основными формулами десятичных логарифмов являются:

До изобретения калькуляторов вышеописанные формулы использовались очень широко. Например, они позволяют с легкостью выполнить умножение многозначных чисел. Для этого необходимо воспользоваться простым алгоритмом:

• найти по таблице логарифмы заданных чисел;
• в соответствии с третьим свойством сложить их и получить логарифм произведения;
• по полученному логарифму используя таблицу найти и само произведение чисел.

Аналогичным образом можно выполнить и деление многозначных чисел. Только в данном случае логарифмы следует не складывать, а вычитать.

Использование десятичных логарифмов дает возможность даже без калькулятора выполнить извлечение из корня или возведение в степень.

В настоящее время десятичные логарифмы практически полностью вытеснены натуральными. Они сохраняются только в исторически укоренившихся областях математики, например, в построении логарифмической шкалы.

Отрицательные десятичные логарифмы представляют в искусственной форме. В ней они имеют отрицательную характеристику и положительную мантиссу.

Иначе эту запись можно представить так:

Для перевода десятичного отрицательного логарифма в искусственную форму необходимо увеличить на единицу абсолютную величину характеристики. Над полученным числом поставить знак «минус». Вычесть из девяти все цифры мантиссы кроме последней, не равной нулю.

Ее следует вычесть из десяти. Полученные в ходе вычитания разности записать на тех же местах мантиссы, где находились вычитаемые числа. Нули на конце остаются без изменений.

График десятичного логарифма

При рассмотрении логарифмируемого числа в качестве переменной получаем функцию:

Она будет определена при всех значениях x больше нуля. Область значений функции лежит в пределе:

График десятичного логарифма представляет кривую линию, называемую логарифмикой.

Всюду, где функция определена, она дифференцируема, непрерывна и монотонно возрастает. Ее производную можно задать формулой:

Ось ординат рассматриваемой функции является вертикальной асимптотой, так как

Как правильно решать задачи на десятичных логарифмах, примеры

Рассмотрим примеры решения задач с использованием десятичных логарифмов.

Задача 1. Вычислить значение выражения

Для решения данного примера воспользуемся формулой суммы:

Задача 2. Упростите выражение:

В данном случае необходимо воспользоваться формулой степени:

Задача 3. Вычислить значение выражения

Воспользуемся свойством логарифма степени и получим:

Теперь применим свойство частного, откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Что такое логарифм (lg)

В математике логарифм является функцией, обратной экспоненциальной. Это означает, что логарифм lg — это степень, в которую нужно возвести число b, чтобы в результате получить x. В простейшем случае он учитывает повторное умножение одного и того же значения.

Рассмотрим конкретный пример:

1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3

В данном случае это — логарифм lg по основанию десять. Равен он трем.

В общем случае выражение будет выглядеть так:

Возведение в степень позволяет любому положительному действительному числу быть увеличенным до любой реальной величины. Результат при этом всегда будет большим, чем ноль. Поэтому логарифм для любых двух положительных действительных чисел b и x, где b не равен 1, всегда является уникальным вещественным числом a. Более того, оно определяет соотношение между возведением в степень и логарифмом:

lg_bx = a, если b a = x.

История

История логарифма (lg) берет начало в Европе семнадцатого века. Это открытие новой функции расширило сферу анализа за пределы алгебраических методов. Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нейпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio («Описание замечательных правил логарифмов»). До изобретения ученого существовали другие методы в сходных областях такие, как использование таблиц прогрессий, разработанных Йостом Бюргги приблизительно в 1600 году.

Десятичный логарифм lg — это логарифм с основанием, которое равно десяти. Впервые действительные логарифмы использовались с эвристическими методами для преобразования операции умножения в сложение, что облегчало быстрое вычисление. Некоторые из этих методов использовали таблицы, полученные из тригонометрических тождеств.

Открытие функции, которая теперь известна как логарифм (lg), связывают с попыткой сделать квадратуру прямоугольной гиперболы Грегори де Сент-Винсентом, бельгийцем, проживающем в Праге.

Использование

Логарифмы часто используются и вне математики. Некоторые из этих случаев связаны с понятием масштабной инвариантности. Например, каждая камера оболочки наутилуса является приблизительной копией следующей, уменьшенной или увеличенной в определенное количество раз. Это называют логарифмической спиралью.

Размеры автомодельных геометрических форм, части которых внешне похожи на окончательное изделие, также основаны на логарифмах. Логарифмические шкалы полезны для количественной оценки относительного изменения значения. Более того, поскольку функция log_bx растет очень медленно при больших х, для сжатия крупномасштабных научных данных используются логарифмические шкалы. Логарифмы также встречаются в многочисленных научных формулах таких, как уравнение Фенске или уравнение Нернста.

Вычисление

Некоторые логарифмы можно легко вычислить, например log₁₀1000 = 3. В общем случае они могут вычисляться с использованием степенных рядов или среднего арифметично-геометрического значения или извлекаться из предварительно рассчитанной таблицы логарифмов, которая обладает высокой точностью.

Итеративный метод для решения уравнений, придуманный Ньютоном, также может быть использован для нахождения значения логарифма. Так как обратной функцией для логарифмической является экспоненциальная, то процесс вычисления сильно упрощается.

Десятичный логарифм числа

Результатом вычисления логарифма числа является показатель степени, в которую необходимо возвести одно число для получения другого.

• Определение десятичного логарифма
• Свойства десятичного логарифма
• Таблица десятичных логарифмов
• График десятичного логарифма

Определение десятичного логарифма

Десятичный логарифм — это логарифм, основанием которого является число 10. Обозначается как lg и пишется следующим образом:

lg y является решением уравнения y = 10 x . Другими словами, в какую степень ( x ) необходимо возвести число 10, чтобы получить y .

Логарифмы

Логарифмом положительного числа N по основанию ( b > 0, b 1 ) называется показатель степени x , в которую нужно возвести b , чтобы получить N .

Эта запись равнозначна следующей: b x = N .

П р и м е р ы : log₃ 81 = 4 , так как 3 4 = 81 ;

log_1/3 27 = – 3 , так как ( 1/3 ) — 3 = 3 3 = 27 .

Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

Основные свойства логарифмов.

1) log b = 1 , так как b 1 = b .

2) log 1 = 0 , так как b 0 = 1 .

3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

log ( ab ) = log a + log b .

4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

log ( a / b ) = log a – log b .

5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:

log ( b k ) = k · log b .

Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак лога рифма:

Два последних свойства можно объединить в одно:

7) Формула модуля перехода ( т. e . перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):

В частном случае при N = a имеем:

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log ₁₀N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, . p авны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных

единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, . p авны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического при менения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е . Он обозначается ln , т.е. log _e N = ln N . Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n ( см. первый замечательный предел на странице «Пределы числовых последовательностей»).
Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.