Диаграмма нормального распределения (Гаусса) в Excel
Требуется построить диаграмму стандартного нормального распределения Гаусса (стандартное нормальное распределение имеет М = 0 и = 1), используя функцию НОРМСТРАСП.
1. В ячейку A3 введем символ х, а в ячейку ВЗ — символ функции плотности вероятности f(x).
2. Вычислим нижнюю М — За границу диапазона значений х, для чего установим курсор в ячейку С2 и введем формулу =0-3*1, а также верхнюю границу — в ячейку Е2 введем формулу =0+3*1.
3. Скопируем формулу из ячейки С2 в ячейку А4, полученное в ячейке А4 значение нижней границы будет началом последовательности арифметической прогрессии.
4. Создадим последовательность значений х в требуемом диапазоне, для чего установим курсор в ячейку А4 и выполним команду меню Правка/Заполнить/Прогрессия.
5. В открывшемся окне диалога Прогрессия установим переключатели арифметическая, по столбцам, в поле Шаг введем значение 0,5, а в поле Предельное значение — число, равное верхней границе диапазона.
Функция НОРМРАСПР в EXCEL
6. Щелкнем на кнопке ОК. В диапазоне А4:А16 будет сформирована последовательность значений х.
7. Установим курсор в ячейку В4 и выполним команду меню Вставка/Функция. В открывшемся окне Мастер функций выберем категорию Статистические, а в списке функций — НОРМРАСП.
8. Установим значения параметров функции НОРМРАСП: для параметра х установим ссылку на ячейку А4, для параметра Среднее — введем число 0, для параметра Стандартное_откл — число 1, для параметра Интегральное — число 0 (весовая).
Диаграмма нормального интегрального распределения в EXCEL
9. Используя маркер буксировки, скопируем полученную формулу в диапазон ячеек В5:В16.
10. Выделим диапазон полученных табличных значений функции f(х) (ВЗ:В16) и выполним команду меню Вставка/Диаграмма. В окне Мастер диаграмм во вкладке Стандартные выберем График, а в поле Вид — вид графика, щелкнем на кнопке Далее.
11. В окне Мастер диаграмм (шаг 2) выберем закладку Ряд. В поле Подписи оси х укажем ссылку на диапазон, содержащий значения х (А4:А16). Щелкнем на кнопке Далее.
В окне Мастер диаграмм (шаг 3) введем подписи: Название диаграммы, Ось х, Ось у. Щелкнем на кнопке Готово. На рабочий лист будет выведена диаграмма плотности вероятности .
Примеры решений распределения с помощью функции ГАУСС в Excel
Функция ГАУСС, подлежащая применению в версиях Excel начиная от 2013 года или новее. Она позволяет вычислить такую вероятность, с которой элемент стандартной нормальной совокупности будет находиться в интервале между средними и стандартными отклонениями от среднего.
Примеры использования функции ГАУСС в Excel
Синтаксис рассматриваемой функции не представляет из себя ничего сложного, ведь функции ГАУСС присущ всего один обязательный аргумент – Z – возвращающий число.
Важно отметить, что существует определенная связь между функцией ГАУСС и такой статистической функцией, как стандартное нормальное распределение, иначе говоря – НОРМ.СТ.РАСП.
Итак, всегда функция НОРМ.СТ.РАСП (0; Истина) делает возврат 0,5, тогда как ГАУСС (z) имеет в результате значение меньше на 0,5, чем результат функции НОРМ.СТ.РАСП. На рисунке, расположенном ниже, приведен пример использования данных статистических функций для возвращения числа 1,5.
Для наглядности продемонстрируем зависимость между значениями функций графическим способом. Для этого – сформируем таблицу с выборкой чисел, например на интервале от -5 до 5 с шагом 0,5, а затем по имеющимся данным построим график:
На графике четко прослеживается пропорциональная корреляция результатов вычислений функций ГАУСС и НОРМ.СТ.РАСП.
Решение системы вероятности методом ГАУССА в Excel
Задача представляет собой вычисление вероятности возможных значений при бросании двух костей.
Пример с игрой в кости является наиболее наглядным, так как мы имеем ограниченный набор данных, которые соответствуют вероятностям. Так, вероятность имеет значение от нуля до единицы, к которому стремится наблюдаемая частота при бесконечно большой выборке или повторении эксперимента.
Существует 36 возможных комбинаций. При этом, вероятность того, что при бросании двух костей выпадет 2 очка равна 1/36, а 7 очков – 1/6. Отобразим перечень возможных значений бросания двух игральных костей в таблице, приведя при этом все вероятности к общему знаменателю.
Однако, такой ряд данных не дает возможности для выявления полного распределения, поэтому следует отобразить данные об отдельных вероятностях в рассчитанную по функции распределения. Так необходимо, все вероятности просуммировать последовательно (1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1).
Теперь определяем коэффициент вероятности разделив по отдельности последовательную сумму вероятностей на максимально возможное количество комбинаций 36.
В первом случае нами были рассмотрены отдельные вероятности, во втором – сумма вероятностей от первого возможного значения до заданного.
Необходимо преобразовать диапазон ячеек D2:D13 в числовой формат данных, иначе при обращении на них функции ГАУСС будет иметь место ошибка.
В созданный рядом с первоначальной таблицей столбец E введем формулу, которая в качестве аргумента делает обращение к ячейке D2.
Далее, протянем формулу вниз по столбцу, и получим ряд вероятностей с использованием функции ГАУСС.
Для более наглядной визуализации, построим график вероятности:
Решение вероятности методом распределения кривой Гаусса в Excel
Теперь в качестве примера нормального распределения с помощью функции ГАУСС решим задачу о вероятностном соотношении результатов стрельбы по мишени.
Для этого построим базовую таблицу, которая отражает результаты стрельбы по мишени в девяти подходах.
Затем, выберем только уникальные результаты, для этого используем хитрую формулу:
Делаем сортировку формулой для результатов по возрастанию и выводим в отдельную табличку:
После чего определим частоту встречающихся только для уникальных результатов:
Далее применим функцию ГАУСС к значениям ячеек с частотой встречаемости. Отразим результаты вычислений на графике:
На графике красной линией определено нормальное распределение кривой Гаусса.
Как построить кривую гаусса в excel по данным таблицы
Отображение нормального распределения в виде диаграммы при помощи статистической формулы в Excel
Нормальное распределение для введенного среднего значения и стандартного отклонения можно легко рассчитать и отобразить в таблицах Excel, например, для тестирования гипотезы.
Звучит заумно, но на деле все просто. Заполните ячейки от А1 до А11 исходными данными — в примере числами от 0 до 100 с шагом в десять. Выделите ячейку В1, откройте вкладку «Формулы» и щелкните по кнопке «Вставить функцию».
Выбор статистической формулы. Для отображения нормального распределения в Excel предусмотрена функция «НОРМ.РАСП».
В качестве категории выберите значение «Статистические», в качестве функции — «НОРМ.РАСП». Подтвердите выбор, нажав кнопку ОК. Откроется новое окно. В строку «Х» введите значение «A1», в строку «Интегральная» — значение «0». Среднее составит «50», стандартное отклонение же можно свободно выбирать.
Когда вы закроете окно, Excel отобразит первое значение в ячейке B1. Теперь потяните за правый нижний угол ячейки вниз, затем выделите все значения — то есть ячейки от A1 до B11.
На вкладке «Вставка» в группе «Диаграммы» в разделе «Точечная» вы найдете несколько диаграмм, на которых можно отобразить нормальное распределение.
Фото: компания-производитель
Примеры решений распределения с помощью функции ГАУСС в Excel
Функция ГАУСС, подлежащая применению в версиях Excel начиная от 2013 года или новее. Она позволяет вычислить такую вероятность, с которой элемент стандартной нормальной совокупности будет находиться в интервале между средними и стандартными отклонениями от среднего.
Примеры использования функции ГАУСС в Excel
Синтаксис рассматриваемой функции не представляет из себя ничего сложного, ведь функции ГАУСС присущ всего один обязательный аргумент – Z – возвращающий число.
Важно отметить, что существует определенная связь между функцией ГАУСС и такой статистической функцией, как стандартное нормальное распределение, иначе говоря – НОРМ.СТ.РАСП.
Итак, всегда функция НОРМ.СТ.РАСП (0; Истина) делает возврат 0,5, тогда как ГАУСС (z) имеет в результате значение меньше на 0,5, чем результат функции НОРМ.СТ.РАСП. На рисунке, расположенном ниже, приведен пример использования данных статистических функций для возвращения числа 1,5.
На графике четко прослеживается пропорциональная корреляция результатов вычислений функций ГАУСС и НОРМ.СТ.РАСП.
Решение системы вероятности методом ГАУССА в Excel
Задача представляет собой вычисление вероятности возможных значений при бросании двух костей.
Пример с игрой в кости является наиболее наглядным, так как мы имеем ограниченный набор данных, которые соответствуют вероятностям. Так, вероятность имеет значение от нуля до единицы, к которому стремится наблюдаемая частота при бесконечно большой выборке или повторении эксперимента.
Существует 36 возможных комбинаций. При этом, вероятность того, что при бросании двух костей выпадет 2 очка равна 1/36, а 7 очков – 1/6. Отобразим перечень возможных значений бросания двух игральных костей в таблице, приведя при этом все вероятности к общему знаменателю.
Однако, такой ряд данных не дает возможности для выявления полного распределения, поэтому следует отобразить данные об отдельных вероятностях в рассчитанную по функции распределения. Так необходимо, все вероятности просуммировать последовательно (1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1).
Теперь определяем коэффициент вероятности разделив по отдельности последовательную сумму вероятностей на максимально возможное количество комбинаций 36.
В первом случае нами были рассмотрены отдельные вероятности, во втором – сумма вероятностей от первого возможного значения до заданного.
Необходимо преобразовать диапазон ячеек D2:D13 в числовой формат данных, иначе при обращении на них функции ГАУСС будет иметь место ошибка.
В созданный рядом с первоначальной таблицей столбец E введем формулу, которая в качестве аргумента делает обращение к ячейке D2.
Далее, протянем формулу вниз по столбцу, и получим ряд вероятностей с использованием функции ГАУСС.
Для более наглядной визуализации, построим график вероятности:
Решение вероятности методом распределения кривой Гаусса в Excel
Теперь в качестве примера нормального распределения с помощью функции ГАУСС решим задачу о вероятностном соотношении результатов стрельбы по мишени.
Для этого построим базовую таблицу, которая отражает результаты стрельбы по мишени в девяти подходах.
Затем, выберем только уникальные результаты, для этого используем хитрую формулу:
Делаем сортировку формулой для результатов по возрастанию и выводим в отдельную табличку:
После чего определим частоту встречающихся только для уникальных результатов:
Далее применим функцию ГАУСС к значениям ячеек с частотой встречаемости. Отразим результаты вычислений на графике:
На графике красной линией определено нормальное распределение кривой Гаусса.
LiveInternetLiveInternet
—Метки
—Музыка
—Конвертер видеоссылок
—Подписка по e-mail
—Поиск по дневнику
—Интересы
—Постоянные читатели
—Трансляции
—Статистика
Построение гистограмм распределения в Excel
В связи с написанием диплома тема подсчёта статистики для меня крайне актуальна, посему делюсь найденной крайне полезной стаейкой по построению гистограмм распределения. Точнее частью этой статьи с наипростейшим алгоритмом постороения этих гистограмм Excel. Лично я строю этим способом гистограммы распределения значений показателей психологических тестов, ну а там уж каждому по потребностям, распределение чего надо посмотреть.
В современном мире к статистике проявляется большой интерес, поскольку это отличный инструмент для анализа и принятия решений, а также это отличное средство для поиска причин нарушений процесса и их устранения. Статистический анализ применим во многих сферах, где существуют большие массивы данных: естественно, в первую очередь я скажу, что металлургии, а также в экономике, биологии, политике, социологии и. много где еще. Статья эта будет, как несложно догадаться по ее названию, про использование некоторых средств статистического анализа, а именно — гистограммам.
Ну, поехали.
Статистический анализ в Excel можно осуществлять двумя способами:
• С помощью функций
• С помощью средств надстройки «Пакет анализа». Ее, как правило, еще необходимо установить.
Чтобы установить пакет анализа в Excel, выберите вкладку «Файл» (а в Excel 2007 это круглая цветная кнопка слева сверху), далее — «Параметры», затем выберите раздел «Надстройки». Нажмите «Перейти» и поставьте галочку напротив «Пакет анализа».
А теперь — к построению гистограмм распределения по частоте и их анализу.
Речь пойдет именно о частотных гистограммах, где каждый столбец соответствует частоте появления* значения в пределах границ интервалов. Например, мы хотим посмотреть, как у нас выглядит распределение значения предела текучести стали S355J2 в прокате толщиной 20 мм за несколько месяцев. В общем, хотим посмотреть, похоже ли наше распределение на нормальное (а оно должно быть таким).
*Примечание: для металловедческих целей типа оценки размера зерна или оценки объемной доли частиц этот вид гистограмм не пойдет, т.к. там высота столбика соответствует не частоте появления частиц определенного размера, а доле объема (а в плоскости шлифа — площади), которую эти частицы занимают.
График нормального распределения выглядит следующим образом:
График функции Гаусса
Мы знаем, что реально такой график может быть получен только при бесконечно большом количестве измерений. Реально же для конечного числа измерений строят гистограмму, которая внешне похожа на график нормального распределения и при увеличении количества измерений приближается к графику нормального распределения (распределения Гаусса).
Построение гистограмм с помощью программ типа Excel является очень быстрым способом проверки стабильности работы оборудования и добросовестности коллектива: если получим «кривую» гистограмму, значит, либо прибор не исправен или мы данные неверно собрали, либо кто-то где-то преднамеренно мухлюет или же просто неверно использует оборудование.
Как построить стандартное нормальное распределение случайной величины. Нормальное распределение (Гаусса) в Excel
Случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определеное значение хi или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.
Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний.
Нормальное распределение
Нормальное распределение , также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.
Коэффициент асимметрии
Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае.
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.
Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.
Коэффициент эксцесса
Коэффициент эксцесса (коэффициент островершинности) — мера остроты пика распределения случайной величины.
«Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если вершина гладкая.
Моменты случайной величины
Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.
Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид
Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.
Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ <\sigma >^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре $<\sigma >^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.
Параметр $<\sigma >^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра $<\sigma >^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha 70\right)=\Phi \left(<<\infty -50>\over <10>>\right)-\Phi \left(<<70-50>\over <10>>\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$
$$б)\ P\left(X файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью понаблюдать за изменением формы кривой.
Нормальное распределение в MS EXCEL
В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название — NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:
Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через N (μ; σ 2).
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.
Стандартное нормальное распределение
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с μ=0 и σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).
Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.
Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .
Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.
В MS EXCEL 2010 для имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.
Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).
Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.
Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).
Обратите внимание, что стандартизация относится только к (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .
Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле
В силу четности функции распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).
Обратные функции
Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется стандартного нормального распределения .
В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .
Графики функций
В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% — в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:
которая вернет значение 68,2689% — именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).
В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:
Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:
Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для .
Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы для параметров распределения: μ и σ.
Генерация случайных чисел
Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:
Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .
В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ . Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. .
Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).
Задачи
Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)
Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.
Решение приведено в файле примера лист Задачи .
Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)
Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х (или ). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна , то мы знаем , т.е. μ. Чтобы найти нужно использовать . Решение приведено в файле примера лист Задачи .
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.
Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин
Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.
Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и, например, одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию на сумму резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах её закон распределения.
Теоремы, устанавливающие нормальный закон как предельный для суммы независимых равномерно малых случайных слагаемых, будут подробнее рассмотрены в главе 13.
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:
Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид (рис. 6.1.1). Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке ; по мере удаления от точки плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.
Выясним смысл численных параметров и , входящих в выражение нормального закона (6.1.1); докажем, что величина есть не что иное, как математическое ожидание, а величина — среднее квадратическое отклонение величины . Для этого вычислим основные числовые характеристики величины — математическое ожидание и дисперсию.
Применяя замену переменной
Нетрудно убедиться, что первый из двух интервалов в формуле (6.1.2) равен нулю; второй представляет собой известный интеграл Эйлера-Пуассона:
т.е. параметр представляет собой математическое ожидание величины . Этот параметр, особенно в задачах стрельбы, часто называют центром рассеивания (сокращенно – ц. р.).
Вычислим дисперсию величины :
Применив снова замену переменной
Интегрируя по частям, получим:
Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так как при убывает быстрее, чем возрастает любая степень ), второе слагаемое по формуле (6.1.3) равно , откуда
Следовательно, параметр в формуле (6.1.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение величины .
Выясним смысл параметров и нормального распределения. Непосредственно из формулы (6.1.1) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания . Это ясно из того, что при изменении знака разности на обратный выражение (6.1.1) не меняется. Если изменять центр рассеивания , кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рис. 6.1.2). Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс.
Размерность центра рассеивания – та же, что размерность случайной величины .
Параметр характеризует не положение, а самую форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна ; при увеличении максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. На рис. 6.1.3 показаны три нормальные кривые (I, II, III) при ; из них кривая I соответствует самому большому, а кривая III – самому малому значению . Изменение параметра равносильно изменению масштаба кривой распределения – увеличению масштаба по одной оси и такому же уменьшению по другой.